Як досліджувати функцію і побудувати її графік.


Графік параболи

Побудова графіка функції є невід'ємною частиною навчання як у школі, так і у ВНЗ, іноді застосовується і на роботі. Часто від цього вміння залежить ваша оцінка з математики або навіть подальша доля в університеті. Так от сьогодні ми і спробуємо навчитися цьому навику.

Інструкція Рівень складності: Нескладно 1 крок
Наша функція і її область визначення

Отже, почнемо.
Для визначеності розглянемо функцію, рівняння якої записана на зображенні зліва від кроку. Всі обчислення будуть також показані на ілюстраціях відповідних кроків.
Насамперед знаходимо область визначення. Областю визначення називають безліч всіх тих значень зміною x , при яких алгебраїчний вираз справа має сенс.
Таким чином, область визначення нашої функції це об'єднання проміжків
1 - від мінус нескінченності до -1 (не включаючи саме число -1 )
2 - від -1 до плюс нескінченності (також, не включаючи -1 )

2 крок
Асимптоти

Тепер другим етапом ми повинні знайти всі асимптоти функції.
Для того, щоб знайти всі вертикальні асимптоти , ми повинні застосувати вже більш поглиблені знання математики. Так от, для цього необхідно знайти межу ліворуч і праворуч функції в точках, які не входять в область визначення. У нашому випадку це точка -1 . Якщо обидва межі рівні нескінченності, тоді функція x = c , де з це точка, в якій шукали межа, є вертикальною асимптотой. Інакше вертикальних асимптот не існує.
Тепер знайдемо всі похилі асимптоти. Кожна похила асимптота задається загальним рівнянням y = kx + b . Для того щоб знайти k ми обчислюємо межа вираження f (x) \ x при х яка прагне до плюс, а потім і до мінус нескінченності. Якщо отримуємо конкретне число, то це і є шукане k , інакше похилих асимптот немає. Якщо k це конкретне число, тоді шукаємо b . Для цього знаходимо межа вираження (f (x) - kx) , де f (x) це вихідна функція.
Більш докладну інформацію, про те, як знайти ці межі, ви знайдете на просторах інтернету. Зараз наша мета саме зрозуміти, як досліджувати функцію. Тому переходимо до наступного етапу.

3 крок
Парність \ непарність

Наступним етапом визначаємо парність \ непарність функції. Для цього Замість х підставляємо в рівняння .



Якщо вираз не змінилося при підстановці, тоді функція є парною. А отже, її графік симетричний відносно осі ординат Oy.
Якщо f (-x) =-f (x) тоді функція - непарна. А отже, її графік симетричний відносно початку координат.
Інакше функція є функцією загального вигляду.
Приклади:
y = x ^ 2 - парна
y = x ^ 3 - непарна

4 крок
Точки перетину

Тепер знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат.
Для того, щоб знайти точки перетину графіка з віссю абсцис Ox . Для цього підставляємо в рівняння функції y = 0 , вирішуючи це рівняння отримаємо шукану крапку.
Для того, щоб знайти точки перетину графіка з віссю ординат . Для цього підставляємо в рівняння функції х = 0 , вирішуючи це рівняння отримаємо шукану крапку.

5 крок

Знаходимо проміжки зростання \ спадання функції і точки максимуму, мінімуму.
Для цього знаходимо першу похідну функції. Далі знаходимо критичні точки, для цього прирівнюємо похідну до нуля і знаходимо х . Так само критичною точкою є і значення х , при яких знаменник перетворюється в нуль. Будуємо вісь координат і відзначаємо на ній знайдені точки. Тепер наша вісь розбита на декілька проміжків. На кожному з них знаходимо знак похідної, тобто підставляємо з кожного проміжку будь-яку точку. Якщо при цьому значенні похідна більше нуля, тоді функція на відповідному проміжку зростає. І, навпаки, якщо при цьому значенні похідна менше нуля, тоді функція на відповідному проміжку спадає.
Якщо в точці, позначеній на прямій, знак похідної змінюється з плюса на мінус, тоді це точка максимуму, якщо з мінуса на плюс, тоді точка мінімуму.

6 крок

Тепер знайдемо проміжки опуклості функції.
Для цього знайдемо другу похідну функції. Так само знайдемо і відзначимо критичні точки, як і в попередньому кроці. Знайдемо проміжки, де похідна більше нуля і де менше. Там, де друга похідна позитивна - функція опукла вниз, там, де менше - опукла вгору.
Точки, в яких знак другої похідної змінюється, називається точкою перегину.

7 крок

Тепер, користуючись усіма даними, які ми отримали в ході дослідження, будуємо графік функції.

Поради та попередження:
  • Якщо щось не зрозуміло, пишіть коментарі, спробуємо розібратися разом ;-)