Крепс.


Гра, здається, англійська, але від якого слова походить назва, сказати важко Ведеться двома звичайними гральними кістками (кубиками), з числом очок від 1 до 6 на гранях кожної з них. Фактично, грає одна людина або багато гравців по черзі.

Гравець кидає кістки і складає випали окуляри.

Якщо випало 2, 3, або 12 - це миттєвий програш. Гра закінчена.

Якщо 7 або 11 - миттєвий виграш.

Якщо випало інше число очок (4, 5, 6, 8, 9 або 10), гравець продовжує кидати одночасно обидві кістки , поки не випаді або знову те ж число очок - це виграш, або сімка - це програш.

Любителі теорії ймовірності мають шанс перевірити себе і підрахувати ймовірність виграшу і ймовірність програшу. Якщо в сумі вийде одиниця - це вже дуже непогано.

Паша з МФТІ aka

Впадає два кубики, тому при кожному кидку можливий один з 6 * 6 = 36 варіантів випадання очок. Відповідно, число варіантів та ймовірності отримання різних сум очок від 2 до 12:

v (2) = 1 p (2) = 1/36 v (3) = 2 p (3) = 2/36 v (4) = 3 p (4) = 3/36 v (5) = 4 p (5) = 4/36 v (6) = 5 p (6) = 5/36 v (7) = 6 p (7) = 6/36 v (8) = 5 p (8) = 5/36 v (9) = 4 p (9) = 4/36 v (10) = 3 p (10) = 3/36 v (11) = 2 p (11) = 2/36 v (12) = 1 p (12) = 1/36

Імовірність виграшу на першому ходу: pw1 = p (7) p (11) = 8/36 Вірогідність програшу на першому ходу: pl1 = p (2) p (3) p (12) = 4/36

Припустимо, що на першому ході випало число очок n - одне з 4, 5, 6, 8, 9, 10 (Вірогідність цього дорівнює p (n))

Тоді ймовірність виграшу на другому ходу дорівнює p (n), ймовірність програшу - p (7) = 6/36, ймовірність продовжити гру pc (n) = 1-p (n) -6/36

Імовірність виграшу на другому або третьому ходу:

pw2 (n) = p (n) pc (n) * p (n)

Аналогічно, ймовірність виграшу на другому або якому-небудь з наступних ходів:

pw (n) = p (n) p (n) * pc (n) p (n) * pc (n) ^ 2 p (n) * pc (n) ^ 3 ...


1 p (n) v (n) = p (n) * --------- = ------------ = ------ 1 - pc (n) p (n) 6/36 v (n) 6

(Згідно шкільної формулою для суми нескінченної геометричної прогресії.)

Точно так само вважається і ймовірність програшу на другому або наступних ходах. (Надаємо зробити це читачеві як вправа.)

Залишається підрахувати сумарну ймовірність виграшу за формулою повної ймовірності Байеса, наявної в довідниках (втім, інтуїтивно досить ясною):

p (win) = pw1 p (4) * pw (4) p (5) * pw (5) ... p (10) * pw (10) 8 3 3 4 4 5 5 5 5 4 4 3 3 = - (--*--- --*--- --*--- --*--- --*--- --*---) = 36 36 3 6 36 4 6 36 5 6 36 5 6 36 4 6 36 3 6 1 8 25 25 8 244 = --* (8 1 - - - - - 1) = --- 36 11 травня 1911 5495 p (loose) = 4 3 6 4 6 5 6 5 6 4 6 3 6 = - (--*--- --*--- - *--- --*--- --*--- --*---) = 36 36 3 6 36 4 6 36 5 6 36 5 6 36 4 6 36 3 6 1 12 30 30 12 251 = - (4 2 - - - - 2) = --- 36 11 травня 1911 5495

" Як не дивно, - пише сам Паша, - сума p (win) p (loose) дійсно дорівнює одиниці ", що свідчить про відсутність помилок у його обчисленнях.

Любителі поламати собі голову можуть знайти подібні і більш складні завдання на сайті Стаса Сумарокова http://golovolomka.hobby.ru і в його розсилку http://subscribe.ru/catalog/rest.brain.golovolomka

Зверніть увагу: вартість оформлення залу кулями