Заняття математикою.

Ольга Павлова, l_ola@mail.ru, 1 вересня 1999

Частина 1. З 3 до 4 років. Порядковий рахунок і цифри

Та загалом, почали ми, як і всі - вважали пальчики. Порядковий рахунок до 10 був засвоєний дуже швидко до двох років. Позначення цифр ми знали в 1г. 4м. Вивчили цифри по картинках: кішка, собака, літера А, конячка, цифра 3. У маленькому віці все одно яку інформацію по картинці сприймати - чому б і не цю?

Можна було б і раніше, але я нічого не знала про ранній розвиток і займалася з дитиною чисто інтуїтивно.

Дроби

Так до 3,5 років ми і застрягли на порядковому рахунку, поки не почали займатися музикою. А з музики адже проходять тривалості нот, і так їх і називають - ціла, половинка, четвертна, восьма. Так що нам довелося почати з дробів. Різали яблуко, рвали на частини папір, просто малювали - не зрозуміла. Зрештою, доча сказала: мама, восьма - це короткий звук - ТА, четвертинка - це один звук з двох коротких, зіграти треба нотку і встигнути проспівати ТА-ТА, половинка - це коли встигаєш заспівати ТА-ТА, ТА -ТА. І задумалася надовго. Я, здивована таким ходом думок увазі не подала і кажу: ну, а ціла? Сашко каже: це в розумі порахувати важко. Я кажу: тоді намалюй. Малюнок був такий:

Кожна паличка - це ТА. А всього вісім ТА! - Ціла нота. Саша була так горда своїм успіхом, що два дні намагалася пояснити всьому садку цю теорію дробів, втім, як я зрозуміла безрезультатно.

Вчителька музики на наступному занятті теж спробувала різати яблуко. Саша розповіла і їй про свою теорію - і вирішили вони нічого не різати, а плескати в долоні - один хлопок - восьма нотка, два хлопки - четвертинка.

Виявилося, що трьохлітка набагато простіше складати, ніж ділити.

Прийшовши складним шляхом до простої істини, ми вирішили зайнятися складанням.

Додавання

Діло було так. Я вирішила, що все одно, що складати, аби розпочати процес. Запропонувала Саші складати книжки. Кажу: ось дві книжки, а ось ще одна. Скільки всього книжок? Отримую відповідь: одна книжечка про качечок, одна про мишок і одна про Петю-півника. Приблизно таку ж відповідь я отримала і про чашечки: одна з будиночком, одна з квіточкою і одна з тіткою, дуже страшненькою. Тоді я зрозуміла, що якщо спочатку вчити дитину додаванню, а потім гуртування предметів за ознакою, то краще починати складати однакові речі. Рахункових паличок у нас не було, зате було дитяче доміно, великого розміру, приблизно 7х14 см, з точками-горошинами. Зручним воно виявилося ще й тим, що на одній картці-доміно дві картинки з горошками, наочно.

На цьому "дидактичному матеріалі" рахунок до дванадцяти був засвоєний миттєво, хвилин за 15. Наступним етапом я вирішила показати, що можна записувати ці приклади на папері.

Почали ми так: я малювала прямокутник, ділила його на дві частини, малювала горошки у верхній частині і в нижній частині і пропонувала порахувати намальовані горошки разом . Засуджували ми з Сашею при цьому наступне "літературний твір": ми малюємо доміно, з половинками воно, зверху ставимо цифру 2, а внизу 4. Якщо порахуємо разом, то отримаємо рівно 6! (Тут безмежне поле для фантазії, але дитина млів просто від повторюваного початку: ми малюємо доміно, з половинками воно.)

Відразу ж під малюнком я записувала цей приклад з допомогою цифр, втім, особливо не залучаючи Сашкова увагу до цього процесу, дуже швидко.

Далі за допомогою тих же малюнків стали ускладнювати завдання: ми малюємо доміно, з половинками воно, зверху ставимо цифру 2, а внизу - не знаємо! Скільки треба дописати, щоб вийшло 5?

Погодьтеся, це вже практично рівняння! 2 + х = 5. Внизу під малюнком я так і записала, пояснивши, що коли чогось не знаємо, то пишемо замість цього букву х.

Неабияк натренувавшись прикладами на додавання, Саша, не замислюючись, видає правильну відповідь - 3! Значить, х = 3, перекладаю я.

Наступні два дні Саша розважалася тим, що малювала собі приклади сама - і! - Внизу під малюнком записувала все цифрами! Щоб було як по-справжньому! Не було жодної ляльки чи зайчика, які не навчилися б вирішувати приклади на додавання і рівняння.

Групування

Боюся, що при поясненні віднімання у мене будуть такі ж проблеми, як при додаванні книжечок і чашок, перш ніж пояснювати тему віднімання, я вирішила пояснити дитині, що таке групування предметів за ознакою.

Десь тиждень пішов у нас на те, щоб навчитися групувати предмети за ознаками форма, колір, розмір і загальні властивості. (Темпи не вундеркіндскіе, прямо скажемо.) Знадобилося близько 50-70 предметів (з тих, які, безумовно, є будинки у кожного). Розклавши ці предмети на дивані (вірніше, склавши їх в купу), ми викладали на стілець предмети за ознакою "червоний", за ознакою "прямокутний", за ознакою "маленький", за ознакою "іграшка" і т.д. Попутно "винайшли велосипед" - придумали гру "Який предмет зайвий" з якого-небудь ознакою.

Насправді, тема ця нескінченна, ми все життя що-небудь групуємо, класифікуємо за різними ознаками. Пізніше ми стали групувати за ознаками "смак" (солодкий, гіркий, кислий, солоний), "запах" (є чи ні), "температура" (льодяний, холодний, теплий, гарячий, що обпалює), "обсяг" (об'ємний, плоский , лінійний); стали об'єднувати в групи рослини (трава, квіти, кущі, дерева), плоди (овочі, фрукти, ягоди), тварин (птиці, риби, земноводні, ссавці). До чотирьох років це стало однією з улюблених тем. До того ж, якщо людина вміє групувати предмети, він і розповісти може про що завгодно. Наприклад, Саша могла охарактеризувати ведмедя наступним чином: ведмідь - це жива природа, тварина, ссавець, коричневого кольору, великого розміру, складної симетричної форми, об'ємне, тепле, дике - живе в лісі, зазвичай не хиже, засинає на зиму. Це - саме "охарактеризувати", і зовсім не означає, що вірші, казки про ведмедика і намальований Вінні-Пух пройшли повз неї, "раціо" не перемогло і не було такої мети зовсім.

Гра 2 - ми визначали, ніж, наприклад, кішка відрізняється від ворони, і чим вони схожі; крім повторення отриманих знань ще й дуже розвиває фантазію.

Гра 3 - хтось загадує предмет, а другий за ознаками намагається вгадати , що це.

Віднімання і ділення порівну

Після цього відступу розповідаю про те, що ми проходили тему "віднімання" (іноді до цих пір називаємо віднімання "відніманням" - нічого не поробиш).

Можна сказати, що все пройшло на "ура" і без проблем, групи були засвоєні, якщо ми "забирали" книжки, то їх зміст при цьому не переказувати. Все було добре, поки не почали забирати цукерки з допомогою класичної задачки: у тебе шість цукерок, ти дала мені дві, скільки в тебе залишилось? Саша сказала, що так нечесно, вона дасть мені три цукерки, бо так буде порівну. Довелося погодитися. Але тут прийшов з роботи тато. Знову нечесно, заявила Саша, - треба і з татом поділитися. Добре, ми поділимося, кажу я, але поки вирішимо задачку! - Нечесно! - Заявила Саша, розплакалася і пішла до себе в кімнату.

Довелося змінювати задачку так: у тебе шість цукерок, дві ти дала мамі, дві татові, скільки в тебе залишилось? Ця задачка нарікань з боку дитини не викликала і швидко була вирішена.

Цей випадок наштовхнув мене на думку, що розподіл порівну для трьохлітки сприймати легше, ніж віднімання. Тому що це справедливо. А коли у тебе вісім кульок, і два лопнули, то це НЕСПРАВЕДЛИВО, і тому такі жалісливі задачки вирішуватися не хочуть. Віднімання - це майже завжди недобре дію, тому що від нього збитки і несправедливість. Тому з задачок на віднімання "на ура" проходило наступне: "З десяти завдань Сашко вже вирішила на п'ятірку вісім. Скільки ще залишилося вирішити завдань на п'ятірку, щоб всі завдання були вирішені на п'ятірку ?".

Множення

Залишилося пройти множення, щоб класичний набір з чотирьох дій був у зборі.

Нічого розумнішого, ніж "три ряди по чотири дерева" або "площа предмета" мені в голову не приходило. На допомогу прийшла Саша і сказала: будемо малювати і складати!

Взагалі, за допомогою малюнків справа завжди йде легше. Намалювали ті ж нещасні три ряди по чотири дерева, побачили, що якщо скласти 4 +4 +4, то це якраз і буде правильним. Механізм множення був зрозумілий, а це саме те, чого я й добивалася.

Якщо дитині зрозумілі самі процеси чотирьох дій та основи групування, то за допомогою малюнків він вирішить будь-яке завдання з початкової школи.


Ще одна думка, яка з'явилася у мене після занять з моєю дитиною: можна, звичайно, навчити дитину до 4 років вирішувати приклади з сотнями, він зрозуміє механізм, але не зможе собі уявити, наприклад 90 машинок. Після 20 (твої пальчики і мої) для трьохлітки йде "багато", навіть якщо він і знає що там далі, розуміння немає.

Частина 2. З чотирьох до п'яти років.

Коли Сашкові виповнилося чотири роки, я купила підручник для 1 класу з математики. Я була дуже розчарована, оскільки для моєї дитини нічого нового там не знайшлося. Ми його прорахували методично весь за місяць і купили інший, для 2 класу. Тут були деякі нові поняття, але навіть з їх поясненням за 2 місяці підручник був пройдений (вже не так методично, по десять однакових завдань ми не вирішували). Після цього ми з Сашею, порадившись, вирішили більше не займатися дурницями, а займатися тим, чим нам буде цікаво.

Сотні, десятки, одиниці.

До чотирьох років порядковий рахунок до ста був засвоєний як-то сам собою , як вірші. Але розуміння - що ж це таке - сто - не настало. На допомогу прийшов поїзд дров ...

У кожному вагоні по десять товстих колод. Якщо в поїзді 2 вагони, скільки колод він везе? Відповідь була, як завжди вичерпний: потяги з двох вагонів не буває. Добре, кажу. Поїзд із десяти вагонів. Скільки колод у перших двох вагонах? Двадцять, - практично не замислюючись відповідає Сашко. Правильно, а в трьох? Включає порядковий рахунок, вважає. Тридцять! А знаєш, як пишеться тридцять? Пишу. Здорово, молодець! А у чотирьох? Знову включає порядковий рахунок, але вважає про себе, відчуває підступ. Сорок! Пишу - 40. А в п'яти? Задумалася Мама, я напишу, а ти скажеш, добре? Пише 50! Називаю - "п'ятдесят". Чуєш - п'ять-десят, тобто п'ять десятків! Запитує: а потім - шість-десят? Сім-десят? - Так! - Вісім-десят! Дев'ять-десят! Десять-десят! - Але ти ж вважала до ста, було там девятьдесят і десятьдесят? - Ні. - А як було, згадуй! - (Вважає) - дев'яносто! (Пише 90), (вважає) - сто. А як сто писати? - Показую - З трьох цифр?! - Так! 90 - це дев'ять десятків, а 100 - це 10 десятків!

Весь вечір ходить, притихла, мабуть, обмірковує. Вранці: мама, а в двох потягах - 20 десятків, це можна написати так - 200? - Можна! - А називатися буде як? - Двісті, тобто дві сотні. - А в трьох вагонах - от стільки, триста! - Ну, майже правильно, тільки не триста, а триста.

Ось так ми за два дні "просунулися" від рахунку до 20 до 1000. Звичайно, помилки ще були, в основному, з назвами чисел, але прийшов головне - розуміння.

У зв'язку з вивченням сотень-десятків-одиниць корисно проробляти наступну вправу:
681 - це шість сотень, вісім десятків і одна одиниця, або: шість потягів, вісім вагончиків на запасному шляху і одне-самотнє бревнишко, яке не помістилося. (Саме - не помістилося, а не звідки-небудь випало.)

Тобто, незважаючи на те, що всі засвоєно, періодично повторювати, представляти.

Рахунок в стовпчик.

Після того, як розуміння великих чисел настав, постало питання, як з ними бути, як рахувати задачки і приклади з сотнями. Довелося показати, як відбувається додавання і віднімання у стовпчик. Цією "гімнастикою" (п'ять прикладів в стовпчик для розминки) ми займаємося перед кожним заняттям математикою і зараз (не скажу, що заняття у нас відбуваються дуже регулярно). Звичайно, все зіпсував тато, який зі школи не в ладах з математикою, чистий гуманітарій - навчив користуватися калькулятором (зруйнував чарівництво - виявляється, можна швидше, простіше і не замислюючись, "і взагалі, кожен дурень впорається!). Але на калькуляторі ми потім перевіряємо, чи правильно вийшло. Я вважаю, що рахунок - це хороша вправа для мізків.

Додавання і віднімання у стовпчик було засвоєно, як і в школі, за допомогою алгоритму (при додаванні - три пишемо , один запам'ятовуємо; при вирахуванні - від шести відняти вісім неможливо, займемо десяток, і будемо віднімати від шістнадцяти). речі, у зв'язку з рахунком в стовпчик, довелося засвоїти, що таке "алгоритм" - порядок вирішення, послідовність дій. Я виписала алгоритм на листок, і перший час він знаходився перед очима під час вирішення прикладів.

При вирішенні прикладів у стовпчик виникає досить складна для чотирирічки завдання, наприклад, від 17 відняти 9. Стосовно до цього випадку довелося пояснити, як можна спростити цей приклад.

Спрощення.

(Мається на увазі, що дитина добре знає склад чисел до 10.)

Дан приклад: 17 - 9. Що нам просто відняти від 17? Правильно, 7. А скільки не вистачає від 7 до 9? Два. Добре. Значить, будемо віднімати не відразу дев'ять, а спочатку 7, потім 2. Пишемо: 17 - 9 = 17 - 7 - 2 = 10 - 2 = 8.

Нерівності

Зазвичай дитина добре собі уявляє, яке число з двох більше, а яке менше, якщо йому належним чином допомогли уявити великі числа. Якщо немає - не біда, можна почати з маленьких чисел, попутно допомагаючи представляти більші.

28 + х <50. Вирішимо спочатку рівняння 28 + х = 50. (що треба зробити, щоб з двох вагонів і восьми помістилися колод отримати п'ять цілих вагонів? Треба додати два цілих вагона і два бревнишка в напівпорожньому вагончику, тобто 22!). Отримали х = 22. А щоб вийшло не 50, а менше, треба скільки додати? (задумалася) Ну, більше або менше 22? - підбадьорюю я. - Менше! - радіє Сашко. А можна взагалі нічого не додавати, все одно буде менше! - Правильно, ми запишемо х <22. Тобто якщо ми додамо будь-яке число вагонів і бревнишек менше, ніж 22 (хоч 0!), у нас вийде правильне рішення.

Коли освоєні нерівності, можна відразу переходити до функцій. Ми цього не зробили, тому що дуже захопилися геометрією.

Геометрія

Я поділяю думку, що краще дитині дати знань більше , чим менше. Те, що йому недоступне, він не сприйме й так. Тому пояснення мої будувалися не як у школі - спочатку всі визначення, потім якісь ознаки, потім властивості по всьому.

Ми брали геометричну фігуру, наприклад, трикутник і намагалися вивчити її досконало.

Тре-кутник, значить три кути. Будемо говорити, що трикутник - це плоска геометрична фігура, у якої три кути. Що ще в неї є? Сторони. Скільки їх? Три. Як можна сторони по-іншому назвати? відрізками. Чи можуть бути які-небудь сторони трикутника паралельними? Ні. А перпендикулярними? Так. У цьому випадку трикутник буде називатися прямокутним. Чи може у трикутника бути два або три прямих кута? Ні. Кути, які менше прямого - гострі, більше прямого - тупі. Якщо всі кути рівні, то і всі сторони рівні і трикутник буде називатися рівностороннім, якщо два куточки рівні, то і дві сторони рівні, і трикутник рівнобедрений . Показ, як сторони вимірювати лінійкою, вчимося малювати різні трикутники. Чи може бути прямокутний трикутник рівнобедреним? (Так) А рівностороннім? (немає). Чи може одна сторона бути більше, ніж сума двох інших (немає). Даю поняття периметра, підстави , висоти, площі (для цього зручніше лист у клітинку). Не дійшли тільки до теореми Піфагора і синусів-косинусів, хоча було б можна. Не хотілося вводити поняття катетів, гіпотенузи, квадратних чисел, а тригонометрія - все-таки ще зарано для сприйняття. (По крайней мере, для моєї дитини).

Чотирикутники розбирали всі разом (квадрат, ромб, прямокутник, трапеція, паралелограм), шукали відмінності і подібності, дуже допомогло те, що перш займалися групуванням. Прийшли до висновку, що кожен квадрат - ромб, прямокутник і паралелограм, але не навпаки. Тобто квадрат - це перетин множин ромбів, прямокутників, а прямокутник - це частина безлічі паралелепіпедів. Вважали площа і периметр фігур.

Знову ж разом розбирали коло і овал і зрозуміли, що кожне коло - овал, але не навпаки. Розібрали поняття радіуса, діаметра, хорди, центру (центрів).

Далі перейшли до об'ємним постатям, але поки тільки на рівні визначень - важкувато, так як малювати в стереометрії ми ще не вміємо.

Довгі приклади і задачки в декілька дій.

Це ще одна з тем, яку ми пройшли. Пояснювати тут не довелося нічого, крім того , що сам процес можливий, що можна так записувати і вирішувати приклади й завдання по частинах.

Ось, загалом, і все. Система не претендує ні на що, як, втім, і на свою системність. Може Можливо, комусь-небудь вона допоможе пояснити своїм малюкам будь-яку тему, якщо розуміння не настає по-іншому. Дякую за увагу, було дуже приємно, що ви прочитали все до кінця.